Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так, что геометрические фигуры оказываются в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций.
Проследим, как изменятся проекции точки B , если плоскость V заменить на новую плоскость проекций V 1 (рис. 5.1, а ). Плоскость V 1 проводим перпендикулярно плоскости Н , положение которой остается без изменения. Плоскости Н и V 1 пересекутся по прямой 0х 1 , определяющей новую ось проекций. В новой системе плоскостей проекций вместо проекций b и b" получим новые проекции b и b 1 ′ . Легко убедиться, что расстояние от новой проекции точки b 1 ′ до новой оси 0х 1 (координата Z ) равно расстоянию от заменяемой проекции b" до заменяемой оси 0х . Чтобы перейти от пространственного чертежа к эпюру, нужно совместить плоскость V 1 с плоскостью Н . На эпюре (рис. 5.1, 6 ) для построения новой проекции b 1 ′ используем неизменность координаты Z точки B . Для этого достаточно из горизонтальной проекции b провести перпендикуляр к новой оси 0х 1 и от точки b X 1 отложить координату Z , определяемую расстоянием b"b x (Z B ) в прежней системе.
Замена горизонтальной плоскости Н новой плоскостью Н 1 (рис. 5.1, в ) производится аналогично, с той лишь разницей, что теперь не изменяется фронтальная проекция точки b" , для построения новой горизонтальной проекции b 1 необходимо из сохраняемой фронтальной проекции b" провести линию связи к новой оси 0х 1 и отложить от новой оси расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции b до заменяемой оси 0х .
Замена плоскостей проекций может осуществляться только последовательно, нельзя менять обе плоскости сразу.
Рассмотрим на примерах, как производится замена плоскостей проекций и строятся новые проекции фигур.
Задача 1. Определить длину отрезка прямой АВ общего положения.
Заменяем плоскость V плоскостью V 1 , параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, а ). Проводим новую ось Х 1 параллельно ab и на перпендикулярах, проведенных к ней из точек а и b, откладываем а X 1 а 1 ′ = а x а" и b X 1 b 1 ′ = b x b". Получаем новую проекцию a 1 ′b 1 ′ = AB и одновременно угол α наклона прямой к плоскости Н.
Если плоскость Н заменим плоскостью H 1 параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, б ), то получим а 1 b 1 = АВ и угол β наклона прямой к плоскости V.
Задача 2. Определить натуральную величину и форму треугольника ABC .
Задача решается последовательной заменой двух плоскостей проекций.
Сначала плоскость V заменяем плоскостью V 1 , перпендикулярной к плоскости треугольника (рис. 5.3). Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь AD (ad, a"d") и новую ось Х 1 располагаем перпендикулярно к ad. На новой плоскости проекций треугольник спроецируется в прямую b 1 ′а 1 ′с 1 . На втором этапе плоскость Н заменяем плоскостью Н 1 , параллельной плоскости треугольника, располагая ось Х 2 параллельно прямой b 1 ′а 1 ′с 1 ′. Построенная проекция a 1 b 1 с 1 определяет натуральную величину и форму треугольника ABC.
Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П 1 и П 2 новыми плоскостями П 4 (рисунок 7.1). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рисунок 7.2). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.
Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рисунок 7.1).
Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.
Выберем новую плоскость проекций П 4 , параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П 1 . Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П 1 П 2 в систему П 1 П 4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А 4 В 4 будет натуральной величиной отрезка АВ .
Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рисунок 7.2).
Рисунок 7.2. Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций
Способ вращения
а) Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.
Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельных плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рисунок 7.3), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В 1 .
Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x ). При этом точка А 1 переместиться в А * 1 , а точка В не изменит своего положения. Положение точки А * 2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А * 1 . Полученная проекция В 2 А * 2 определяет действительные размеры самого отрезка.
б) Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций
Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рисунок 7.4).
Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в , которые пересекаются в точке К . Для того, чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций.
Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h 2 параллельно оси О х , которая пересекает прямые в точках А 2 и В 2 . Определив проекции А 1 и В 1 , построим горизонтальную проекцию горизонтали h 1. Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П 1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.
Таким образом, траектория движения точки К 1 определена прямой К 1 О 1 , точка О - центр окружности - траектории движения точки К . Чтобы найти радиус этой окружности найдем методом треугольника натуральную величину отрезка КО . Продолжим прямую К 1 О 1 так чтобы |КО |=|О 1 К * 1 | . Точка К * 1 соответствует точке К , когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П 1 и проведенной через горизонталь - ось вращения. С учетом этого через точку К * 1 и точки А 1 и В 1 проведем прямые, которые лежат теперь в плоскости параллельной П 1 , а следовательно и угол j - натуральная величина угла между прямыми а и в .
в) Способ плоскопараллельного перемещения
Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рисунок 7.5). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.
Свойства плоскопараллельного перемещения:
1) При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П 1 , её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х .
2) В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П 2 , её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х .
Контрольные вопросы
1 С какой целью выполняют преобразования комплексного чертежа?
2 Назовите способы преобразования комплексного чертежа.
3 Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?
4 В чем сущность преобразования ортогональных проекций?
5 В чем сущность преобразования проекций способом замены плоскостей проекций?
6 Назовите задачи, для решения которых достаточно заменить только одну плоскость проекций.
7 Какие задачи можно решать путем замены двух плоскостей проекции?
8 Каким образом можно определить натуральную величину отрезка прямой общего положения? Задайте прямую общего положения (произвольно) определите ее натуральную величину способом замены плоскостей проекций..
9 Как определить расстояние от точки до прямой?
10 В чем сущность преобразования чертежа способом вращения?
11 Какие линии используются в качестве осей вращения?
12 Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?
13 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?
14 В чем сущность способа плоскопараллельного переноса?
Метрические задачи
| Метрические задачи, задачи связанные с определением истинных (натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже. | |
| Существует три группы метрических задач: | |
| Группа задач 1 | включающая в себя определение расстояний от точки до точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от точки до поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. Причем расстояние от прямой до плоскости и между плоскостями измеряется в тех случаях, когда они параллельны. |
| Группа задач 2 | включающая определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (имеется в виду определение величины двухгранного угла). |
| Группа задач 2, 3 | связанная с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки). |
Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа.
В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.
Определение расстояний между геометрическими моделями пространства. Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей. На рисунке 7.6 определено расстояние от точки М до прямой АВ:
1) П 2 _|_П 1 -> П 1 _|_П 4 , П 4 ||АВ, П 1 /П 4 ||A 1 B 1 ;
2) П 1 П 4 -> П 4 _|_П 5 , П 5 _|_AB, П 4 /П 5 _|_A 4 B 4 ;
3) M 5 K 5 - истинное расстояние от точки М до прямой AB;
Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж.
На рисунке 7.7 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):
1) П 1 ,П 2 ->П 1 _|_П 4 , П 4 _|_Q, П 1 /П 4 _|_ h(A, 1)~ 0;
2) М 4 K 4 _|_Q 4 - истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;
3) M 1 K 1 _|_K 4 K l или || П 1 / П 4 ;
4) K 2 построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П 4 .
Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними.
Рисунок 7.8
Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.
Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.
Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.
Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.
Определение натуральных величин плоских фигур. Определение истинной величины плоской фигуры можно осуществить путем преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций. На рисунке 7.9, а дан комплексный чертеж прямоугольника ABCD. Ни одна из проекций прямоугольника не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П 2 на П 4 , приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к П 4 - Выполнив вторую замену, то есть замену П 4 на П 5 , определяем истинную величину прямоугольника ABC.
Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рисунок 7.9, б).
Рисунок 7.9
Контрольные вопросы
1 Какие задачи называются метрическими?
2 Какие группы задач выделяются в метрических задачах?
3 Как на комплексном чертеже определить расстояние между двумя точками пространства; от точки до прямой; от точки до плоскости?
4 Как определить кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми; скрещивающимися прямыми; от прямой до плоскости?
5 Какие построения необходимо выполнить на чертеже, чтобы определить натуральную величину угла между двумя пересекающимися прямыми общего положения?
6 Как по чертежу определить истинную величину угла между плоскостями общего положения, если ребро образованного ими двугранного угла не задано?
7 Какие вы знаете способы построения истинной величины фигуры сечения поверхности плоскостью общего положения?
Часто для приведения прямой, плоской фигуры или пространственной формы в то частное положение, которое требуется для решения задачи, приходится заменять обе плоскости проекций. Переход от заданной системы плоскостей V/H к новой V 1 /H 1 может быть осуществлен по одной из приведенных ниже схем:
V/H → V 1 /H → V 1 /H 1 или V/H → V/H 1 → V 1 /H 1 .
На рисунке 12 задана точка A в системе V/H . Затем осуществлен переход от системы V/H к системе V 1 /H 1 : проведена новая ось проекций Х 1 , найдена новая проекция а" 1 точки А. Далее система V 1 /H заменена новой системой плоскостей проекции V 1 /H 1 - вместо горизонтальной плоскости проекций введена новая плоскость Н 1 .
Рисунок 12
Положение новых осей проекций выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи.
Рассмотрим примеры.
Пример 6. Определить истинную фигуру треугольника ABC (рисунок 13).
Рисунок 13
Треугольник спроектируется в натуральную величину на какую-либо плоскость проекций, если он окажется параллельным этой плоскости. Для того чтобы треугольник АВС оказался параллельным одной из плоскостей проекций, необходимо выполнить двойную замену плоскостей.
Сначала заменим плоскость V на плоскость V 1 . Плоскость V 1 выберем перпендикулярно плоскости треугольника АВС - новая ось проекций x 1 должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h . На новую фронтальную плоскость проекций треугольник cпроектируетcя в виде прямой линии c’ 1 a’ 1 b’ 1 . Затем введем новую плоскость проекций H 1 параллельно плоскости треугольника.
Горизонтальная проекция a 1 b 1 c 1 треугольника ABC в новой системе - истинная величина его.
Пример 7 . Дана пирамида SАВС (рисунок 14). Определить величину двугранного угла при ребре АВ.
Задача сводится к построению проекции данного угла на плоскость проекций, перпендикулярную к его ребру.
Рисунок 14
Так как ребро АВ - прямая общего положения, то необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. Плоскость V заменяем плоскостью V 1 , параллельной отрезку АВ.
Находим новую фронтальную проекцию s’ 1 a’ 1 b’ 1 c’ 1 пирамиды SАВС на новой фронтальной плоскости проекций. Затем от системы V 1 /H перейдем к системе V 1 /H 1 . Плоскость H 1 расположим перпендикулярно отрезку АВ. На плоскость Н 1 ребро АВ спроектируется в точку, а грани SАВ и САВ - в прямые. Угол s 1 a 1 c 1 будет искомым.
Пример 8 . Дана пирамида SАВС (рисунок 15). Определить кратчайшее расстояние между ребрами SА и ВС.
Рисунок 15
Прямые SА и ВС являются скрещивающимися. Следовательно, задача сводится к определению кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Для решения задачи необходимо произвести такую замену плоскостей проекций, чтобы в новой системе одна из прямых, например ВС (рисунок 16), оказалась перпендикулярной к какой-либо плоскости проекций. Замену плоскостей проекций осуществляем по схеме V/H → V/H 1 → V 1 /H 1 .
Следовательно, решение задач методами преобразования сводится к выполнению четырех основных этапов:
1) преобразование прямой общего положения в прямую уровня (определение углов наклона прямой к плоскостям проекций и натуральной величины отрезков);
2. преобразование прямой уровня в проецирующую прямую (определение величины двугранного угла, расстояния между прямыми);
3. преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость (определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций, расстояния от точки до плоскости);
4. преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня (определяется натуральная величина плоскости).
Рисунок 16
В системе V 1 H 1 прямая ВС (см. рисунок 15) проектируется в точку. Отрезок k’ 1 l’ 1 - кратчайшее расстояние между ребрами АS и ВС. Для построения проекций кратчайшего расстояния в системе V/H находим по линии связи точку l 1 и проводим l 1 k 1 параллельно оси проекций Х 2 , после чего при помощи линий связи находим основные проекции kl и k’l’.
СПОСОБЫ ВРАЩЕНИЯ
Сущность способов вращения заключается в том, что заданная геометрическая форма путем вращения вокруг некоторой оси перемещается в пространстве до тех пор, пока она не займет частное положение по отношению к неизменной системе плоскостей проекций.
В зависимости от положения оси вращения по отношению к плоскостям проекций различают следующие способы вращения:
а) вращение вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций;
б) то же без указания положения осей вращения;
в) вращение вокруг горизонтали или фронтали;
г) вращение вокруг одного из следов плоскости (совмещение).
Рисунок 17 Рисунок 18
На эпюре (рисунок 17) изображена точка А и ось вращения Z, перпендикулярная к плоскости проекций H . При вращении вокруг оси Z точка А будет перемещаться по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения (параллельной плоскости проекций H ). Если точку А переместить из положения А в положение A 1 т. е. повернуть ее вокруг оси Z, на некоторый угол α , то ее горизонтальная проекция (а ) займет положение a 1 , описав при этом дугу радиуса za (za - радиус вращения), а фронтальная проекция (а" ) точки переместится по прямой a’a’ 1 , параллельной оси X.
Если ось вращения Z (рисунок 18) перпендикулярна к плоскости проекций V, то при вращении точки В вокруг этой оси фронтальная проекция траектории её перемещения будет окружностью, а горизонтальная - прямой, параллельной оси X.
Рассмотрим пример.
Пример 9. Совместить точку А с плоскостью Р путем вращения ее вокруг заданной оси Z (рисунок 19).
Рисунок 19
При вращении вокруг оси Z, точка А опишет окружность в плоскости Q , перпендикулярной этой оси. Плоскость Q пересечет заданную плоскость Р по горизонтали NF. Очевидно, точка А окажется в плоскости Р тогда, когда окружность, описываемая точкой А, пересечет горизонталь NF. Задача, как видно из чертежа, имеет два решения.
Чтобы повернуть прямую АВ (рисунок 20) на некоторый угол α, достаточно повернуть на заданный угол две принадлежащие, ей точки. Из чертежа видно, что треугольники abz и a 1 b 1 z 1 равны между собой (по двум сторонам и углу между ними), а из их равенства следует, что ab = a 1 b 1 , т. е. величина горизонтальной проекции отрезка при вращении его вокруг оси, перпендикулярной Н, не изменяется, изменяется только ее положение относительно оси проекций. Это обстоятельство позволяет упростить построения при решении приведенного примера
Рисунок 20 Рисунок 21
На рисунке 21 для поворота прямой АВ вокруг оси Z на угол α из z, опущен перпендикуляр на ab. Затем точка с повернута на заданный угол α, через точку c 1 проведена прямая, перпендикулярная радиусу c 1 z, и отложены отрезки c 1 a 1 =са и c 1 b 1 =cb.
Вращение плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, осуществляется путем вращения на один и тот же угол в одном и том же направлении точек и прямых, которыми задана плоскость.
На рисунке 22 плоскость, заданная треугольником АВС, повернута вокруг оси Z. в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция горизонтали А1 заняла положение, перпендикулярное оси X).
Рисунок 22
Если же плоскость задана следами, то для поворота плоскости на некоторый угол необходимо повернуть на заданный угол один из ее следов и горизонталь или фронталь этой плоскости (рисунок 23).
Рисунок 23
Таким образом, при вращении любой пространственной формы около оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, проекция ее на эту плоскость по своей величине не изменится. Изменится лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Пользуясь этим, для решения той или иной задачи можно применять способ вращения, не изображая на чертеже осей вращения.
Введем новую плоскость проекций П 4 параллельно отрезку АВ (рис. 32) и перпендикулярно П 1 . При этом новая ось x 14 будет параллельна А 1 В 1 (в противном случае прямая АВ и плоскость П 4 пересекутся). Угол наклона отрезка АВ к плоскости П 4 равен нулю, и АВ на П 4 проецируется в натуральную величину, т.е. А 4 В 4 = АВ . Измерив отрезок А 4 В 4 , получим длину отрезка АВ .
Выявление натуральной величины плоской фигуры
методом замены плоскостей проекций
Пусть ∆ABC – плоскость общего положения (рис. 33). В плоскости треугольника проведем горизонталь h , спроецируем горизонталь h в точку h 4 на плоскость П 4 (x 14 ⊥ h 1 , П 4 ⊥ h ), построим новые проекции точек А 4 , В 4 , С 4 . Плоскость ∆ABC проецируется в прямую, проходящую через точки А 4 , В 4 , С 4 . Плоскость треугольника в системе (П 1 П 4) является проецирующей плоскостью, она перпендикулярна П 4 . Треугольник АВС проецируется на П 4 в отрезок В 4 С 4 .
Для нахождения натуральной величины ∆АВС введем плоскость проекций П 5 параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно П 4 . Новая ось x 45 параллельна отрезку D 4 C 4 (в противном случае ∆ABC и П 5 пересекутся). Треугольник АВС проецируется на плоскость П 5 в натуральную величину ΔА 5 В 5 С 5 = ΔАВС .
Аналогично находится натуральная величина любой плоской фигуры.
Практическое задание № 3. Выполните чертеж двух пересекающихся плоскостей (формат А4).
Тема 4
ПОВЕРХНОСТИ
Начертательная геометрия изучает кинематический способ образования и задания поверхностей. При этом поверхность рассматривают как множество последовательных положений движущейся линии или другой поверхности в пространстве. Линию, перемещающуюся в пространстве и образующую поверхность, называют образующей . Образующие могут быть прямыми и кривыми. Кривые образующие могут быть постоянными и переменными, например, закономерно изменяющимися.
Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями, называемыми направляющими , по которым скользит образующая при своем движении, а также характером движения образующей. В некоторых случаях одна из направляющих может превращаться в точку, например, вершина у конической поверхности, или находиться в бесконечности, например, у цилиндрической поверхности.
Совокупность геометрических элементов, определяющих поверхность, называют определителем поверхности, учитывая, что закон перемещения образующей определяется названием поверхности.
Задание поверхности проекциями ее определителя не всегда обеспечивает наглядность, а это, в свою очередь, затрудняет чтение чертежа, поэтому для получения наглядного изображения поверхности на комплексном чертеже следует указывать очерк этой поверхности. Очерк проекции поверхности является проекцией соответствующей линии видимого контура. Линия видимого контура поверхности разделяет ее на две части – видимую, обращенную к наблюдателю, и невидимую.
Классификация поверхностей
Классифицируют поверхности, как правило, в зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве (рис. 35):
Поверхность называется линейчатой , если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой . Например, конус вращения – линейчатая поверхность, а сфера – нелинейчатая . Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида:
– развертывающиеся поверхности;
– неразвертывающиеся , или косые поверхности.
Неразвертывающиеся поверхности невозможно совместить с плоскостью без образования складок и разрывов.
Гранные поверхности
Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной . На рис. 36 изображены некоторые виды гранных поверхностей.
а б в
Рис. 36 Гранные поверхности
Их элементами являются грани , ребра и вершины . Плоскости, образующие многогранную поверхность, называются гранями , линии пересечения смежных граней – ребрами , точки пересечения не менее чем трех граней – вершинами .
Гранная поверхность называется пирамидальной , если все ее ребра пересекаются в одной точке – вершине (рис. 36 а ). Гранная поверхность называется призматической , если все ее ребра параллельны между собой (рис. 36 б ). Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником . Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания – многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции (рис. 36 в ).
Торсовые поверхности
Торсовой называют поверхность, образованную при движении прямолинейной образующей по криволинейной направляющей.
Цилиндрическая поверхность (рис.37 а ) образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.
а б в
Рис. 37 Поверхности: торсовая цилиндрическая, торсовая коническая, торс
Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром , а фигуры сечения – его основаниями .
Коническая поверхность (рис.37 б ) образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку.
Конусом называется Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса.
Поверхности с плоскостью параллелизма в общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям, которые однозначно задают закон ее перемещения.
Направляющие линии могут быть кривыми и прямыми . Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).
Поверхности с плоскостью параллелизма в аналогичных случаях соответственно называются прямыми цилиндроидами , прямыми коноидами и косой плоскостью .
Прямым цилиндроидом (рис. 38) называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью параллелизма.
Рис. 38 Прямой цилиндроид Рис. 39 Прямой коноид Рис. 40 Косая плоскость
Косой плоскостью (рис. 40) называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум скрещивающимся прямым и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.
Винтовые поверхности
Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью – геликоидом (винтовое движение характеризуется вращением вокруг некоторой оси i и поступательным перемещением, параллельным этой оси).
а б
Рис. 41 Винтовые поверхности
Наклонным геликоидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, cкользящей по двум направляющим (одна из них цилиндрическая винтовая линия, а вторая – ось винтовой линии) и сохраняющей во всех положениях постоянный угол β С направляющей плоскостью, которую располагают перпендикулярно оси винтовой поверхности. При построении проекций наклонного геликоида удобно пользоваться направляющим конусом (рис. 41 б ).
Поверхности вращения
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения .
Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 42).
Эти окружности называются параллелями . Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям . Линия пересечения поверхности вращения плоскостью Σ , проходящей через ось, называется меридианом .
Меридиан, который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня, называется главным
. Проекция главного меридиана
на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией
соответствующей проекции поверхности вращения.
При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.
Вращением прямой линии образуются:
–цилиндр вращения , если прямая l параллельна оси i (рис. 43 а );
– конус вращения , если прямая l пересекает ось i (рис. 43 б );
– однополостный гиперболоид , если прямая l скрещивается с осью i (рис. 43 в ).
 |
||
| а | б | в |
| Рис. 43 Линейчатые поверхности вращения | ||
К поверхностям вращения, образованным вращением кривых второго порядка вокруг оси относятся:
– сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 44 а );
– эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (44 б , в );
– тор образуется вращением окружности вокруг внешней оси (рис. 44 г );
 |  |  |
| а | б | в |
 |  |  |
| г | д | е |
| Рис. 44 Поверхности вращения второго порядка |
– однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 44 е ).
Каналовые и циклические поверхности
Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому. На рис. 45 приведены два изображения каналовой поверхности. В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:
– параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма ;
– перпендикулярно к направляющей линии – прямые каналовые поверхности .
Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:
– различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;
– одинаковую форму, но различные площади сечения;
– различную форму и различные площади поперечных сечений.
Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется. Пример циклической поверхности показан на рис. 46.
Графические поверхности
Графические поверхности задаются конечным множеством линий уровня, образующих каркас этих поверхностей. Примеры графических поверхностей представлены на рис. 48.
 |
| Рис. 48 Графические поверхности |
Пересечение поверхности и плоскости
Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой линию, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью.
Отсюда следуют два варианта построения сечения:
1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;
2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.
Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.
Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.
В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники (рис. 49 а ). Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью. Секущая плоскость Σ является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом Σ 2 плоскости Σ. Следовательно, фронтальная проекция 1 2 2 2 3 2 сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом Σ(Σ 2). Горизонтальные проекции точек 1(1 1), 2(2 1) и 3(3 1) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.
Рис. 49 Построение линии пересечения поверхности с плоскостью
Рассмотрим построение выреза сферы, образованного с помощью четырех проецирующих секущих плоскостей (рис.51, а ). Каждая из них пересекает сферу по линии, являющейся частью окружности. Кроме того, Г и Р являются горизонтальной и профильной плоскостями уровня соответственно. Проекции выреза на П 1 и П 3 будут симметричными.
 |  |
|
| а | б | |
 |  |
|
| в | г | |
На плоскостях проекций П 1 и П 3 ветви выреза от плоскостей Q и Т будут проецироваться в виде частей эллипсов. Точки А и В являются концами осей этих эллипсов.
Отметим опорные точки в плоскостях уровня: 1, 2 и 4 конечные точки ветвей выреза; 5 и 3 точки перемены видимости на плоскостях П 1 и П 3 соответственно.
Построим проекции опорных точек частей выреза от секущих плоскостей Г и Р на плоскостях проекций П 1 и П 3 (рис. 51, б ).
Q . Опорные точки 6 перемена видимости на П 1 . Опорная точка 7 низшая точка (рис. 51, в ).
Построим ветвь выреза от плоскости Т . Опорные точки 8 перемена видимости на П 3 . Опорная точка 9 низшая точка (рис. 51, г ).
Очерки сферы и видимость линии выреза на плоскостях П 1 и П 3 определяются с учетом сквозного выреза.
Взаимодействие поверхностей между собой
Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях. Тогда имеем следующие варианты решения данной задачи:
1) выбирают на одной из поверхностей конечное число линий и строят точки пересечения их с другой поверхностью;
2) выделяют на заданных поверхностях два семейства линий и находят их точки пересечения. Во втором варианте выделение пересекающихся пар кривых выполняют с помощью вспомогательных поверхностей посредников.
В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следующие наиболее часто применяемые способы построения линии пересечения двух поверхностей:
а) способ секущих плоскостей;
б) способ сфер.
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 52).
Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являются точки Α , Β и С , D . Точки Α , Β находятся в пересечении очерковых образующих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в одной секущей плоскости Ф , проходящей по плоскости симметрии поверхностей. Α и Β высшая и низшая точки линии пересечения. Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:
1) через центр сферы О проведена горизонтальная плоскость уровня Θ;
2) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R
Рис. 52 Применение способа вспомогательных секущих плоскостей
3) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R 1 , по которой плоскость Θ пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);
4) определены точки C 1 , D 1 пересечения окружности радиуса R 1 с очерком сферы;
5) установлены фронтальные проекции точек С (С 2), D (D 2) из условия принадлежности их плоскости Θ.
Для построения промежуточных точек 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), …, 6(6 1 ,6 2) линии пересечения заданных поверхностей используем плоскости , и .
Полученные точки соединим плавной кривой линией. Видимость линии пересечения определяется в каждой плоскости проекций.
Затем устанавливаются участки, видимые одновременно для обеих поверхностей. Так, при проецировании коническая поверхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные ниже горизонтального контура. Точки С и D , расположенные на горизонтальном очерке, отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана штриховой линией. На П 2 проекции видимой части линии пересечения совпадает с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей расположены в плоскости симметрии поверхностей.
Способ концентрических сфер
Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям.
а б в
Рис. 53 Пересечение соосных поверхностей вращения
Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:
а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).
Рассмотрим построение линии пересечения конических поверхностей вращения (рис. 54). Поверхности и их расположение удовлетворяют приведенным выше условиям.
Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А , В , K и L , а также E , F , С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ 2) и Δ(Δ 1).
Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θ 2) с центром в точке О
(О
2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П
2 проецируются в отрезки 
и 
(проекции двух других окружностей не показаны). Точки 5 2 = 6 2 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.
Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 54 – сфера R max =[O 2 L 2 ].
Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П 1 , видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П 1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией.
Точки А , В и K , L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П 2 . Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 54 совпадают.
Практическое задание № 5. Выполните чертеж двух пересекающихся поверхностей. Линию их пересечения определите методом вспомогательных плоскостей (формат А4).
Работу выполняют в следующей последовательности (рис. 55):
1) определяют точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой;
2) определяют наивысшие и наинизшие точки линии пересечения;
3) определяют промежуточные точки линии пересечения с помощью вспомогательных плоскостей;
4) все найденные точки пересечения последовательно соединяют кривой линией, учитывая их видимость.
При выборе вспомогательных секущих плоскостей необходимо помнить, что они должны пересечь одновременно обе поверхности и дать наипростейшие фигуры сечения. Для всех вариантов заданий вспомогательными секущими плоскостями могут быть выбраны плоскости уровня: для одних – горизонтальные, для других – вертикальные или те и другие. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательной секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения самой секущей плоскости.
Тема 5
ИЗОБРАЖЕНИЯ: ВИДЫ, РАЗРЕЗЫ, СЕЧЕНИЯ
Чертежи выполняют в строгом соответствии с правилами проецирования с соблюдением установленных требований и условностей.
Требования, предъявляемые к чертежу: обратимость, точность, наглядность, простота.
Чертеж называется обратимым , если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. Чертеж должен быть наглядным и давать четкое представление об изображаемом предмете. Чертеж должен быть простым для графического исполнения .
Общие требования к содержательной части чертежа установлены ГОСТ 2.109-73.
При выполнении чертежей в электронном виде необходимо руководствоваться ГОСТ 2.051-2006, ГОСТ 2.052-2006, ГОСТ 2.053-2006.
Правила выполнения изображений на чертежах установлены ГОСТ 2.305-2008.
При выполнении графических документов в форме электронных моделей для получения соответствующих изображений следует применять сохраненные виды.
Изображение на фронтальной плоскости проекций принимается на чертеже в качестве главного. Главное изображение выбирают таким образом, чтобы оно давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета.
Изображением является любой чертеж. В зависимости от содержания изображения разделяют на виды, разрезы и сечения.
Виды
Вид – это изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Для сокращения количества изображений допускается на видах показывать штриховыми линиями невидимые поверхности предмета (см. рис. 56).
Виды разделяют на основные, дополнительные и местные.
Основными называются виды, расположенные на любой из шести основных плоскостей с сохранением проекционной связи между ними. Вид спереди – главный вид; вид сверху – под видом спереди; вид слева – справа от главного; вид справа – слева от главного; вид снизу – над главным видом; вид сзади – справа от вида слева или слева от вида справа (см. рис. 56). Названия видов на чертеже не надписываются.
Если какой-либо вид расположен вне проекционной связи с главным изображением или отделен от него другими изображениями, то стрелкой указывают направление проецирования. Над стрелкой указывают прописную букву кириллицы. Той же буквой обозначают построенный вид (рис. 57).
1. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения оказалась прямой уровня (рис. 35).
Новую плоскость проекций П 4 , а значит, ось Х 1,4 располагаем параллельно одной из проекций прямой.
Х 1,4 || А 1 В 1
Рис. 35 Рис. 36
2. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая уровня оказалась проецирующей, т.е. перпендикулярной новой плоскости проекции (рис. 36).
Исходя из графического признака проецирующей прямой, одна из проекций должна быть перпендикулярна оси проекций А 1 В 1 Х 1,4 .
3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей (рис. 37).
Для того чтобы плоскость общего положения (АВС) стала перпендикулярной новой плоскости проекций, необходимо в этой плоскости АВС иметь линию, которая по отношению к новой плоскости проекций была бы перпендикулярна.
Это условие выполнимо с помощью вспомогательной прямой - линии уровня (горизонтали или фронтали) данной плоскости (АВС).
На чертеже проводим ось Х 1,4 перпендикулярно горизонтали h : х 1,4 h 1 ; АВС П 4 ; β - угол наклона плоскости АВС к плоскости П 1 .
4. Преобразовать чертеж так, чтобы проецирующая плоскость в новой системе плоскостей стала плоскостью уровня (рис. 38).
Исходя из графического признака плоскости уровня, ось Х 1,4 располагаем параллельно плоскости треугольника Х 1,4 || А 1 В 1 С 1 ;
АВС || П 4 .
Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
Путем преобразования проекций возможно решение следующих задач:
Определение натуральной величины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекций.
Определение расстояния от точки до прямой.
Определение расстояния между параллельными прямыми.
Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Определение величины двугранного угла.
Определение расстояния от точки до плоскости.
Определение расстояния между параллельными плоскостями.
Определение истинной величины плоской фигуры.
Определение угла наклона прямой и плоскости.
10. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций и т.п.
Определить расстояние от точки D до плоскости АВС (рис. 39). Для определения искомого расстояния плоскость АВС преобразуем в проецирующую, для этого в ней проведем горизонталь (h) и новую плоскость П 4 поставим перпендикулярно h, а значит, Х 1,4 перпендикулярно проекции горизонтали (h 1 ), таким образом, плоскость АВС станет перпендикулярной плоскости П 4 Искомое расстояние - (D 4 K 4 ) - величина перпендикуляра, опущенного из . D 4 на линию А 4 В 4 С 4 (проекцию плоскости АВС на плоскость П 4 ).
Вопросы для самопроверки.
Какие существуют способы преобразования проекций?
В чем сущность изображения проекций способом замены плоскостей проекций?
Перечислите 4 основные задачи, решаемые методом замены плоскостей проекций.
Какие типы задач можно решить способом замены плоскостей проекций?
