К простым механизмам кроме рычага и блока относятся также наклонная плоскость и ее разновидности: клин и винт.
НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ
Наклонная
плоскость
применяется для перемещения тяжелых
предметов на более высокий уровень без
их непосредственного поднятия.
К таким устройствам относятся пандусы,
эскалаторы, обычные лестницы и конвейеры.
Если нужно поднять груз на высоту, всегда легче воспользоваться
пологим подъемом, чем крутым. Причем, чем положе уклон
, тем легче выполнить эту работу. Когда время
и расстояние не имеют
большого
значения, а важно поднять груз с наименьшим усилием,
наклонная плоскость оказывается незаменима.
С помощью этих рисунков можно объяснить, как работает простой
механизм НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ.
Классические расчеты действия наклонной плоскости и других
простых механизмов принадлежат выдающемуся античному механику Архимеду
из Сиракуз.
При строительстве храмов египтяне
транспортировали, поднимали и устанавливали колоссальные обелиски
и статуи, вес которых составлял десятки
и сотни тонн!
Все это можно было сделать, используя
среди других простых механизмов наклонную
плоскость
.
Главным подъемным приспособлением египтян была наклонная
плоскость - рампа.
Остов рампы, то есть ее боковые стороны
и перегородки, на небольшом расстоянии друг от друга пересекавшие
рампу, строились из кирпича; пустоты заполнялись тростником
и ветвями. По мере роста пирамиды рампа
надстраивалась.
По этим рампам камни тащили на салазках
таким же образом, как и по земле, помогая себе при этом рычагами.
Угол наклона рампы был очень незначительным - 5
или 6 градусов.
Колонны древнего египетского храма в Фивах.
Каждую из этих огромных колонн рабы втаскивали по рампе- наклонной плоскости. Когда колонна вползала в яму, через лаз выгребали песок, а затем разбирали кирпичную стенку и убирали насыпь. Таким образом, например, наклонная дорога к пирамиде Хафра при высоте подъема в 46 метров имела длину около полукилометра .
В данной статье рассказывается о том, как решать задачи про движение по наклонной плоскости. Рассмотрено подробное решение задачи о движении связанных тел по наклонной плоскости из ЕГЭ по физике.
Решение задачи о движении по наклонной плоскости
Прежде чем перейти непосредственно к решению задачи, как репетитор по математике и физике, рекомендую тщательно проанализировать ее условие. Начать нужно с изображения сил, которые действуют на связанные тела:
Здесь и — силы натяжения нити, действующие на левое и правое тело, соответственно, — сила реакции опоры, действующая на левое тело, и — силы тяжести, действующие на левое и правое тело, соответственно. С направлением этих сил все понятно. Сила натяжения направлена вдоль нити, сила тяжести вертикально вниз, а сила реакции опоры перпендикулярно наклонной плоскости.
А вот с направлением силы трения придется разбираться отдельно. Поэтому на рисунке она изображена пунктирной линией и подписана со знаком вопроса. Интуитивно понятно, что если правый груз будет «перевешивать» левый, то сила трения будет направлена противоположно вектору . Наоборот, если левый груз будет «перевешивать» правый, то сила трения будет сонаправлена с вектором .
Правый груз тянет вниз сила Н. Здесь мы взяли ускорение свободного падения м/с 2 . Левый груз вниз тоже тянет сила тяжести, но не вся целиком, а только ее «часть», поскольку груз лежит на наклонной плоскости. Эта «часть» равна проекции силы тяжести на наклонную плоскости, то есть катету в прямоугольном треугольнике , изображенном на рисунке, то есть равна Н.
То есть «перевешивает» все-таки правый груз. Следовательно, сила трения направлена так, как показано на рисунке (мы ее нарисовали от центра масс тела, что возможно в случае, когда тело можно моделировать материальной точкой):
Второй важный вопрос, с которым нужно разобраться, будет ли вообще двигаться эта связанная система? Вдруг окажется так, что сила трения между левым грузом и наклонной плоскостью будет настолько велика, что не даст ему сдвинуться с места?
Такая ситуация будет возможна в том случае, когда максимальная сила трения, модуль которой определяется по формуле (здесь — коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью, — сила реакции опоры, действующая на груз со стороны наклонной плоскости), окажется больше той силы, которая старается привести систему с движение. То есть той самой «перевешивающей» силы, которая равна Н.
Модуль силы реакции опоры равен длине катета в треугольнике по 3-музакону Ньютона (с какой по величине силой груз давит на наклонную плоскость, с такой же по величине силой наклонная плоскость действует на груз). То есть сила реакции опоры равна Н. Тогда максимальная величина силы трения составляет Н, что меньше, чем величина «перевешивающей силы».
Следовательно, система будет двигаться, причем двигаться с ускорением. Изобразим на рисунке эти ускорения и оси координат, которые нам понадобятся далее при решении задачи:
Теперь, после тщательного анализа условия задачи, мы готовы приступить к ее решению.
Запишем 2-ой закон Ньютона для левого тела:
А в проекции на оси координатной системы получаем:
Здесь с минусом взяты проекции, векторы которых направлен против направления соответствующей оси координат. С плюсом взяты проекции, векторы которых сонаправлен с соответствующей осью координат.
Еще раз подробно объясним, как находить проекции и . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник , изображенный на рисунке. В этом треугольнике 
и 
. Также известно, что в этом прямоугольном треугольнике . Тогда и .
Вектор ускорения целиком лежит на оси , поэтому и . Как мы уже вспоминали выше, по определению модуль силы трения равен произведению коэффициента трения на модуль силы реакции опоры. Следовательно, . Тогда исходная система уравнений принимает вид:
Запишем теперь 2-ой закон Ньютона для правого тела:
В проекции на ось получаем.
Итак, постараюсь подробно описать ход моих рассуждений по этому вопросу. На первом уроке ставлю перед учащимися вопрос: как может тело двигаться по наклонной плоскости? Вместе отвечаем: скатываться равномерно, с ускорением; покоиться на наклонной плоскости; удерживаться на ней; съезжать под действием силы тяги равномерно, с ускорением; заезжать под действием силы тяги равномерно, с ускорением. На рисунках на двух-трех примерах показываем, какие при этом на тело действуют силы. Попутно ввожу понятие скатывающей равнодействующей. Записываем уравнение движения в векторной форме, затем в нем заменяем сумму скатывающей равнодействующей (обозначайте, как вам нравится). Это делаем по двум причинам: во-первых, нет необходимости проецировать векторы сил на ось и решать два уравнения; во-вторых, правильно будет показано соотношение сил, исходя из условия задачи.
Покажу на конкретных примерах. Пример 1: тело под действием силы тяги съезжает равномерно (Рисунок 1).
Ученики первым делом должны усвоить алгоритм построения рисунка. Изображаем наклонную плоскость, посередине нее – тело в виде прямоугольника, через середину тела параллельно наклонной плоскости проводим ось . Направление оси не существенно, но в случае равноускоренного движения лучше показать в сторону вектора , чтобы в алгебраической форме в уравнении движения в правой части перед был знак «плюс». Далее строим силы. Силу тяжести проводим вертикально вниз произвольной длины (требую рисунки делать крупными, чтобы всем было все понятно). Затем из точки приложения силы тяжести – перпендикуляр к оси , вдоль которого пойдет сила реакции опоры . Параллельно этому перпендикуляру из конца вектора проводим пунктирную линию до пересечения с осью . Из этой точки – пунктирную линию, параллельную до пересечения с перпендикуляром – получаем вектор правильной длины. Таким образом, мы построили параллелограмм на векторах и , автоматически указав правильную величину силы реакции опоры и построив по всем правилам векторной геометрии равнодействующую этих сил , которую я называю скатывающей равнодействующей (диагональ, совпадающая с осью ). В этом месте, воспользовавшись методом из учебника, на отдельном рисунке показываю силу реакции опоры произвольной длины: сначала короче, чем нужно, а потом длиннее, чем нужно. Показываю равнодействующую силы тяжести и силы реакции опоры: в первом случае она направлена вниз под углом к наклонной плоскости (Рисунок 2), во втором случае – вверх под углом к наклонной плоскости (Рисунок 3).
Делаем очень важный вывод: соотношение между силой тяжести и силой реакции опоры должно быть таким, чтобы тело под их действием (или под действием скатывающей равнодействующей) в отсутствие других сил двигалось вниз вдоль наклонной плоскости. Далее я спрашиваю: какие еще силы действуют на тело? Ребята отвечают: сила тяги и сила трения. Я задаю следующий вопрос: какую силу покажем сначала, а какую потом? Добиваюсь правильного и обоснованного ответа: сначала в этом случае надо показать силу тяги, а затем силу трения, модуль которой будет равен сумме модулей силы тяги и скатывающей равнодействующей: , т.к. по условию задачи тело движется равномерно, следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на тело, должна равняться нулю согласно первому закону Ньютона. Для контроля задаю провокационный вопрос: так сколько сил действует на тело? Ребята должны ответить – четыре (не пять!): сила тяжести, сила реакции опоры, сила тяги и сила трения. Теперь записываем уравнение движения в векторной форме согласно первому закону Ньютона:
Заменяем сумму векторов скатывающей равнодействующей :
Получаем уравнение, в котором все векторы параллельны оси . Теперь запишем это уравнение через проекции векторов на ось :
Эту запись в дальнейшем можно пропускать. Заменим в уравнении проекции векторов на их модули с учетом направлений:
Пример 2 : тело под действием силы тяги заезжает на наклонную плоскость с ускорением (Рисунок 4).
В этом примере ученики должны сказать, что после построения силы тяжести, силы реакции опоры и скатывающей равнодействующей следующей надо показать силу трения, последним – вектор силы тяги, который должен быть больше суммы векторов , т.к. равнодействующая всех сил должна быть направлена так же, как вектор ускорения согласно второму закону Ньютона. Уравнение движения тела должны записать согласно второму закону Ньютона:
Если есть возможность на уроке рассмотреть другие случаи, то не пренебрегаем этой возможностью. Если нет, то даю это задание домой. Кто-то может рассмотреть все оставшиеся случаи, кто-то некоторые – право выбора учеников. На следующем уроке проверяем, исправляем ошибки и переходим к решению конкретных задач, предварительно выразив из векторных треугольников и :
Равенство (2) желательно проанализировать для
различных углов .
При 
имеем: , как при движении
горизонтально под действием горизонтальной силы
тяги. С ростом угла его косинус уменьшается,
следовательно, уменьшается и сила реакции опоры
и становится все меньше и меньше силы тяжести.
При угле 
она
равна нулю, т.е. тело не действует на опору и
опора, соответственно, «не реагирует».
Предвижу вопрос оппонентов: как применить эту методику для случаев, когда сила тяги горизонтальна или направлена под углом к наклонной плоскости? Отвечу на конкретных примерах.
а) Тело с ускорением затаскивают на наклонную плоскость, прикладывая силу тяги горизонтально (Рисунок 5).
Горизонтальную силу тяги раскладываем на две составляющие: вдоль оси – и перпендикулярную оси – (операция, обратная построению равнодействующей перпендикулярных сил). Записываем уравнение движения:
Заменяем скатывающей равнодействующей, а вместо пишем :
Из векторных треугольников выражаем : 
и : 
.
Под действием горизонтальной силы тело не только
поднимается вверх по наклонной плоскости, но еще
и дополнительно прижимается к ней. Поэтому
возникает дополнительная сила давления, равная
модулю вектора и,
согласно третьему закону Ньютона,
дополнительная сила реакции опоры : 
. Тогда сила трения будет: 
.
Уравнение движения примет вид:
Вот мы полностью расшифровали уравнение движения. Теперь осталось выразить из него искомую величину. Попробуйте решить эту задачу традиционным способом и вы получите такое же уравнение, только решение будет громоздче.
б) Тело стаскивают равномерно с наклонной плоскости, прикладывая силу тяги горизонтально (Рисунок 6).
В этом случае сила тяги кроме стаскивания тела вниз вдоль наклонной плоскости еще и отрывает его от наклонной плоскости. Итак, окончательное уравнение имеет вид:
в) Тело затаскивают равномерно на наклонную плоскость, прикладывая силу тяги под углом к наклонной плоскости (Рисунок 7).
Предлагаю рассмотреть конкретные задачи, дабы еще убедительнее прорекламировать мой методический подход к решению таких задач. Но прежде обращаю внимание на алгоритм решения (я думаю, все учителя физики на него обращают внимание учеников, и все мое повествование было подчинено этому алгоритму):
1) внимательно прочитав задачу, выяснить, как
движется тело;
2) сделать рисунок с правильным, исходя из условия
задачи, изображением сил;
3) записать уравнение движения в векторной форме
согласно первому или второму закону Ньютона;
4) записать это уравнение через проекции векторов
сил на ось x (этот шаг в дальнейшем, когда умение
решать задачи по динамике будет доведено до
автоматизма, можно опустить);
5) выразить проекции векторов через их модули с
учетом направлений и записать уравнение в
алгебраической форме;
6) выразить модули сил по формулам (если есть
необходимость);
7) выразить искомую величину.
Задача 1. За какое время тело массой соскальзывает с наклонной плоскости высотой и углом наклона , если по наклонной плоскости с углом наклона оно движется равномерно?
Каково было бы решать эту задачу привычным способом!
Задача 2. Что легче: удержать тело на наклонной плоскости или двигать его по ней равномерно вверх?
Здесь при объяснении без скатывающей равнодействующей, на мой взгляд, не обойтись.
Как видно из рисунков, в первом случае сила трения помогает удерживать тело (направлена в ту же сторону, что и удерживающая сила), во втором случае она вместе со скатывающей равнодействующей направлена против движения. В первом случае , во втором случае .
Тело, которое соскальзывает вниз по наклонной плоскости . В этом случае на него действуют следующие силы:
Сила тяжести mg, направленная вертикально вниз;
Сила реакции опоры N, направленная перпендикулярно плоскости;
Сила трения скольжения Fтр, направлена противоположно скорости (вверх вдоль наклонной плоскости при соскальзывании тела).
Введем наклонную систему координат, ось OX которой направлена вдоль плоскости вниз. Это удобно, потому что в этом случае придется раскладывать на компоненты только один вектор - вектор силы тяжести mg, а вектора силы трения Fтр и силы реакции опоры N уже направлены вдоль осей. При таком разложении x-компонента силы тяжести равна mg sin(α) и соответствует «тянущей силе», ответственной за ускоренное движение вниз, а y-компонента - mg cos(α) = N уравновешивает силу реакции опоры, поскольку вдоль оси OY движение тела отсутствует.
Сила трения скольжения Fтр = µN пропорциональна силе реакции опоры. Это позволяет получить следующее выражение для силы трения: Fтр = µmg cos(α). Эта сила противонаправлена «тянущей» компоненте силы тяжести. Поэтому для тела, соскальзывающего вниз, получаем выражения суммарной равнодействующей силы и ускорения:
Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));
ax = g(sin(α) – µ cos(α)).
ускорение:
скорость равна
v=ax*t=t*g(sin(α) – µ cos(α))
через t=0.2 с
скорость равна
v=0.2*9.8(sin(45)-0.4*cos(45))=0.83 м/с
Силу, с которой тело притягивается к Земле под действием поля тяготения Земли, называют силой тяжести. По закону всемирного тяготения на поверхности Земли (или вблизи этой поверхности) на тело массой m действует сила тяжести
Fт=GMm/R2 (2.28)
где М - масса Земли; R - радиус Земли.
Если на тело действует только сила тяжести, а все другие силы взаимно уравновешены, тело совершает свободное падение. Согласно второму закону Ньютона и формуле (2,28) модуль ускорения свободного падения g находят по формуле
g=Fт/m=GM/R2. (2.29)
Из формулы (2.29) следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы m падающего тела, т.е. для всех тел в данном месте Земли оно одинаково. Из формулы (2.29) следует, что Fт = mg. В векторном виде
В § 5 было отмечено, что поскольку Земля не шар, а эллипсоид вращения, ее полярный радиус меньше экваториального. Из формулы (2.28) видно, что по этой причине сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения на полюсе больше, чем на экваторе.
Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, однако не все тела падают на Землю. Это объясняется тем, что движению многих тел препятствуют другие тела, например опоры, нити подвеса и т. п. Тела, ограничивающие движение других тел, называют связями. Под действием силы тяжести связи деформируются и сила реакции деформированной связи по третьему закону Ньютона уравновешивает силу тяжести.
В § 5 отмечалось также, что на ускорение свободного падения влияет вращение Земли. Это влияние объясняется так. Системы отсчета, связанные с поверхностью Земли (кроме двух, связанных с полюсами Земли), не являются, строго говоря, инерциальными системами отсчета - Земля вращается вокруг своей оси, а вместе с ней движутся по окружностям с центростремительным ускорением и такие системы отсчета. Эта неинерциальность систем отсчета проявляется, в частности, в том, что значение ускорения свободного падения оказывается различным в разных местах Земли и зависит от географической широты того места, где находится связанная с Землей система отсчета, относительно которой определяется ускорение свободного падения.
Измерения, проведенные на разных широтах, показали, что числовые значения ускорения свободного падения мало отличаются друг от друга. Поэтому при не очень точных расчетах можно пренебречь неинерциальностью систем отсчета, связанных с поверхностью Земли, а также отличием формы Земли от сферической, и считать, что ускорение свободного падения в любом месте Земли одинаково и равно 9,8 м/с2.
Из закона всемирного тяготения следует, что сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения уменьшаются при увеличении расстояния от Земли. На высоте h от поверхности Земли модуль ускорения свободного падения определяют по формуле
Установлено, что на высоте 300 км над поверхностью Земли ускорение свободного падения меньше, чем у поверхности Земли, на 1 м/с2.
Следовательно, вблизи Земли (до высот нескольких километров) сила тяжести практически не изменяется, а потому свободное падение тел вблизи Земли является движением равноускоренным.
Вес тела. Невесомость и перегрузки
Силу, в которой вследствие притяжения к Земле тело действует на свою опору или подвес, называют весом тела. В отличие от силы тяжести, являющейся гравитационной силой, приложенной к телу, вес - это упругая сила, приложенная к опоре или подвесу (т. е. к связи).
Наблюдения показывают, что вес тела Р, определяемый на пружинных весах, равен действующей на тело силе тяжести Fт только в том случае, если весы с телом относительно Земли покоятся или движутся равномерно и прямолинейно; В этом случае
Если же тело движется ускоренно, то его вес зависит от значения этого ускорения и от его направления относительно направления ускорения свободного падения.
Когда тело подвешено на пружинных весах, на него действуют две силы: сила тяжести Fт=mg и сила упругости Fyп пружины. Если при этом тело движется по вертикали вверх или вниз относительно направления ускорения свободного падения, значит векторная сумма сил Fт и Fуп дает равнодействующую, вызывающую ускорение тела, т. е.
Fт + Fуп=mа.
Согласно приведенному выше определению понятия "вес", можно написать, что Р=-Fyп. с учетом того, что Fт=mg, следует, что mg-mа=-Fyп. Следовательно, Р=m(g-а).
Силы Fт и Fуп направлены по одной вертикальной прямой. Поэтому если ускорение тела а направлено вниз (т.е. совпадает по направлению с ускорением свободного падения g), то по модулю
Если же ускорение тела направлено вверх (т. е. противоположно направлению ускорения свободного падения), то
Р = m = m(g+а).
Следовательно, вес тела, ускорение которого совпадает по направлению с ускорением свободного падения, меньше веса покоящегося тела, а вес тела, ускорение которого противоположно направлению ускорения свободного падения, больше веса покоящегося тела. Увеличение веса тела, вызванное его ускоренным движением, называют перегрузкой.
При свободном падении a=g. следует, что в таком случае Р=0, т. е. вес отсутствует. Следовательно, если тела движутся только под действием силы тяжести (т. е. свободно падают), они находятся в состоянии невесомости. Характерным признаком этого состояния является отсутствие у свободно падающих тел деформаций и внутренних напряжений, которые вызываются у покоящихся тел силой тяжести. Причина невесомости тел заключается в том, что сила тяжести сообщает свободно падающему телу и его опоре (или подвесу) одинаковые ускорения.
Она позволяет поднимать груз вверх, прикладывая к нему усилие, заметно меньшее, чем сила тяжести , действующая на этот груз.
Примерами наклонных плоскостей служат пандусы и трапы . Принцип наклонной плоскости можно видеть также в таких колющих и режущих инструментах, как стамеска , топор , плуг , клин , винт .
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
✪ Наклонная плоскость - Физика в опытах и экспериментах
✪ Урок 87. Движение по наклонной плоскости (ч.1)
✪ Простые механизмы. Наклонная плоскость
Субтитры
История
Пандусы и трапы широко применялись при строительстве ранних каменных сооружений, дорог и акведуков, при штурме военных укреплений.
Мысленные и реальные эксперименты с наклонными плоскостями, которые на заре Нового времени делали Леонардо да Винчи , Симон Стевин , Галилео Галилей и другие физики, привели к познанию законов природы, связанных с силой тяжести, массой , инерцией .
Первое доказательство условия равновесия на наклонной плоскости без трения дал Стевин ; это доказательство опиралось на постулат о невозможности вечного двигателя.
Движение по наклонной плоскости
здесь μ {\displaystyle \mu } - коэффициент трения тела о поверхность, α {\displaystyle \alpha } - угол наклона плоскости.
Предельным является случай, когда угол наклона плоскости равен 90°, α = g {\displaystyle \alpha =g} , и тело падает вдоль стены. Другим предельным случаем является ситуация, когда угол наклона плоскости равен 0°, и плоскость параллельна земле. В этом случае тело не может двигаться без приложения внешней силы.
Характер движения тела, лежащего на наклонной плоскости, зависит от величины критического угла. Тело покоится, если угол наклона плоскости меньше критического угла, покоится или движется равномерно, если угол наклона плоскости равен критическому углу, и движется равноускоренно, если угол наклона плоскости больше критического угла.
